sábado, 16 de abril de 2016

numeros complejos

Los números complejos 

son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado . El conjunto de los números complejos se designa con la notación \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los números reales se cumple que \scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C} (\scriptstyle \mathbb{R} estáestrictamente contenido en \scriptstyle \mathbb{C}). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota  a = \text{Re}(z); el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota b= \text{Im}(z). Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
  • Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)
  • Producto por escalar
r(a, b) = (ra,\, rb)
  • Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
  • Igualdad
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
  • Resta
(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)
  • División
\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2} , {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)

Al número  (a,0) se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo  (0,b) se denomina número imaginario puro. Puesto que  (a,0) + (0,b) = (a, b) se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro
planteamiento del problema

z1: 4-2i  
z2: -3+3i




 





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